Basic Galois Theory

Abstract

Στο βιβλίο παρουσιάζεται αναλυτικά και με ευρύτητα η Θεωρία Galois. Μετά από μια επανάληψη εννοιών Θεωρίας Δακτυλίων, αποδεικνύεται το Λήμμα Gauss σε περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης και το γενικευμένο κριτήριο τού Eisenstein σε ακέραιες περιοχές. Μελετώνται οι αλγεβρικές, οι διαχωρίσιμες και οι ορθόθετες (κανονικές) επεκτάσεις σωμάτων. Αποδεικνύεται η ύπαρξη αλγεβρικώς κλειστών σωμάτων και αλγεβρικής θήκης σώματος. Χαρακτηρίζονται οι επεκτάσεις Galois, μέσω τής Θεωρίας Δράσης Ομάδας επί Συνόλου. Μελετώνται οι πεπερασμένες επεκτάσεις Galois, αποδεικνύεται η Πρόταση Artin και παρουσιάζεται μία διαδικασία εύρεσης σταθερών υποσωμάτων απλών πεπερασμένων επεκτάσεων. Εξετάζεται η επέκταση τού σώματος των ρητών συναρτήσεων n μεταβλητών υπεράνω τού υποσώματος των συμμετρικών συναρτήσεων. Με τη θεωρία συμμετρικών πολυωνύμων εξάγονται οι τύποι που δίνουν τις θέσεις μηδενισμού κυβικών και τετραγωνικών πολυωνύμων. Αποδεικνύεται το Θεμελιώδες Θεώρημα Θεωρίας Galois, το Θεμελιώδες Θεώρημα τής Άλγεβρας και μελετώνται ενδελεχώς τα πεπερασμένα σώματα. Αποδεικνύεται ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε ένας μιγαδικός αριθμός να είναι κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη και ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα κανονικό n-γωνο να είναι κατασκευάσιμο. Εξετάζονται τα σώματα διάσπασης των κυκλοτομικών πολυωνύμων καθώς και των πολυωνύμων x^n-a. Αποδεικνύεται το Θεώρημα Galois επιλυσιμότητας με ριζικά. Προσδιορίζονται οι ομάδες Galois οποιουδήποτε τριτοβάθμιου ή τεταρτοβάθμιου πολυώνυμου. Εξετάζεται γενικά ο προσδιορισμός τής ομάδας Galois ενός πολυωνύμου με σχετικές επιλύουσες. Το βιβλίο ολοκληρώνεται παρουσιάζοντας, μέσω τής επιλύουσας Weber, μια ικανή και αναγκαία συνθήκη, για την επίλυση με ριζικά ενός μονοστού, ανάγωγου, διαχωρίσιμου πεμπτοβάθμιου πολυώνυμου, υπεράνω τού σώματος των ρητών. Υπάρχει πληθώρα μη τετριμμένων παραδειγμάτων, τα οποία είτε προδιαγράφουν τη θεωρία που ακολουθεί είτε τη συμπληρώνουν. Περιέχονται επίσης >365 άλυτες ασκήσεις.

This book is a thorough presentation of Galois Theory. After recalling basic notions of ring theory, we prove Gauss Lemma for unique factorization domais. We also present and prove a generalization of Eisenstein’s Criterion for integral domains. We study algebraic, separable and normal extensions of fields. We prove the existence of algebraicaly closed fields and of the algebraic hull of a field. We characterize Galois extensions via the theory of group actions on sets and we also study finite Galois extensions. We prove Artin’s Lemma and present a procedure for determining fixed fields (relative to a subgroup of the Galois group) of simple finite field extensions. We study the field of rational functions as an extension of the field of symmetric rational functions. Using the theory of symmetric polynomials, we obtain the formulas describing the roots of the cubic and biquadratic polynomials. We prove the Fundamental Theorem of Galois Theory and the Fundamental Theorem of Algebra. We study extensively the finite fields. We give and prove necessary and sufficient conditions in order to be a complex number constructible by compass and lineal. We also give and prove necessary and sufficient conditions in order to be a regular n-gon constructible by compass and lineal. We study the splitting fields of cyclotomic polynomials and of polynomials of the form x^n-a. We prove Galois Theorem of the solvability of a polynomial by radicals. We determine the Galois groups of cubic and biquadratic polynomials. Using relative resolvents, we study the the Galois group of a polynomial. Finally we present and study the Weber resolvent which gives a sufficient and necessary condition in order to be solvable by radicals an irreducible polynomial of fifth degree with rational coefficients. The book contais many non trivial examples and over 365 exercises.