Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Abstract

Τα θέματα που θα καλύψουμε στο κεφάλαιο αυτό είναι τα εξής (Τραχανάς, 2005· Τραχανάς, 2008· Binney & Skinner, 2013· Fitzpatrick, 2010· Gasiorowicz, 2003· Griffiths, 2004· Peleg et al., 2010):<br/> 1. Αρχικά, θα ορίσουμε τους τελεστές, οι οποίοι προκαλούν μετασχηματισμούς κβαντικών καταστάσεων.<br/> 2. Μετά θα επικεντρωθούμε σε μια ειδική περίπτωση τέτοιου τελεστή, του τελεστή μετατόπισης, ο οποίος μετασχηματίζει την κβαντική κατάσταση ενός συστήματος σε μια άλλη, που αντιστοιχεί σε κβαντικό σύστημα μετατοπισμένο στον χώρο, κατά ένα ορισμένο διάνυσμα (τρείς συνιστώσες άρα τρεις συνεχείς παράμετροι).<br/> 3. Ο τελεστής μετατόπισης είναι ειδική περίπτωση μιας γενικής κατηγορίας μετασχηματισμών, οι οποίοι λέγονται συνεχείς μετασχηματισμοί και το μέγεθός τους καθορίζεται από παραμέτρους, που παίρνουν συνεχείς τιμές. Κάθε τελεστής συνεχούς μετασχηματισμού καθορίζεται πλήρως από άλλο τελεστή, που λέγεται γεννήτορας του μετασχηματισμού.<br/> 4. Ο τελεστής στροφής αποτελεί άλλο παράδειγμα συνεχούς μετασχηματισμού και μετασχηματίζει την κβαντική κατάσταση ενός συστήματος σε μια άλλη, που αντιστοιχεί σε κβαντικό σύστημα περιεστραμμένο στον χώρο, κατά καθορισμένη γωνία (μια παράμετρος,) γύρω από ορισμένο άξονα (δύο παράμετροι).<br/> 5. Οι διακριτοί μετασχηματισμοί καθορίζονται από παραμέτρους, που παίρνουν διακριτές τιμές. Παράδειγμα διακριτού μετασχηματισμού αποτελεί ο τελεστής της parity, ο οποίος μετασχηματίζει κβαντικό σύστημα στο συμμετρικό του, ως προς σημείο στο χώρο.<br/> 6. Οι τελεστές που μετασχηματίζουν κβαντικές καταστάσεις μπορούν να μετασχηματίσουν επίσης άλλους κβαντικούς τελεστές, που αντιστοιχούν σε παρατηρήσιμα μεγέθη. Θα δούμε πως γίνονται οι αντίστοιχοι μετασχηματισμοί.<br/> 7. Οι μετασχηματισμοί που αφήνουν ένα κβαντικό σύστημα αναλλοίωτο λέγονται συμμετρίες του συστήματος. Οι τελεστές που αντιστοιχούν σε συμμετρίες αφήνουν αναλλοίωτη και τη Hamiltonian κβαντικού συστήματος. Σε κάθε τέτοιο τελεστή αντιστοιχεί και ένας νόμος διατήρησης, δηλαδή η μέση τιμή κάποιου παρατηρήσιμου μεγέθους παραμένει αμετάβλητη με τον χρόνο.<br/> 8. Ενώ στην εικόνα Schrodinger οι κβαντικές καταστάσεις εξελίσσονται με τον χρόνο και οι τελεστές μένουν σταθεροί, στην ισοδύναμη περιγραφή (εικόνα) Heisenberg οι κβαντικές καταστάσεις μένουν σταθερές, ενώ οι κβαντικοί τελεστές εξελίσσονται χρονικά.