Στατιστικά Σύνολα

Abstract

The molecular description of thermodynamic systems is presented. It is observed that many microscopic states correspond to a macroscopic state and that averaging of molecular variables is required for the calculation of macroscopic quantities. Time averaging of evolving in time variables is found to be difficult for complex systems and is replaced by statistical ensemble averaging. The latter is based on the consideration of ensemble of macroscopically identical systems that can differ microscopically. Macroscopic quantities are associated with averages at a single moment, provided the probabilities that microstates occur are known. A general method is presented for the determination of the probabilities as well as the averages and the fluctuations of thermodynamic variables. In the case of a closed system, a special ensemble is developed with the macroscopic states defined through the energy, the volume and the number of particles.

Παρουσιάζεται η μοριακή (μικροσκοπική) περιγραφή των θερμοδυναμικών συστημάτων και ο υπολογισμός των ιδιοτήτων τους με βάση την μικροσκοπική κίνηση. Παρατηρείται ότι πολλές μικροσκοπικές καταστάσεις είναι συμβατές με κάθε μακροσκοπική κατάσταση μιας ουσίας σε θερμοδυναμική ισορροπία. Οι θερμοδυναμικές ποσότητες που δεν είναι σταθερές στον χρόνο αντιστοιχίζονται με μέσες τιμές αντίστοιχων μικροσκοπικών μεγεθών που εξελίσσονται στο χρόνο. Η μέθοδος αυτή παρουσιάζει δυσκολία στον υπολογισμό ιδιοτήτων σύνθετων συστημάτων στον χρόνο με συνέπεια την ανάπτυξη της μεθόδου των στατιστικών συνόλων. Αυτή βασίζεται στην δυνατότητα υπολογισμού μέσων τιμών μέσω της θεώρησης συνόλων συστημάτων, (στατιστικά σύνολα), που εμφανίζουν την ίδια μακροσκοπική κατάσταση ισορροπίας αλλά διαφέρουν μικροσκοπικά, οπότε η τιμή μιάς θερμοδυναμικής μεταβλητής αντιστοιχίζεται με την μέση τιμή μιάς μικροσκοπικής ιδιότητας μιά χρονική στιγμή. Η ισοδυναμία αυτών των δύο μεθόδων αναφέρεται ως εργοδική υπόθεση. Η χρήση των στατιστικών συνόλων δίνει την δυνατότητα μελέτης σύνθετων μακροσκοπικών συστήματων. Παρουσιάζεται η γενική μέθοδος υπολογισμού της πιθανότητας εύρεσης ενός μακροσκοπικού συστήματος σε μία μικροκατάσταση, (μικροσκοπικά καθορισμένη κατάσταση), καθώς και ο υπολογισμός των μέσων τιμών και των διακυμάνσεων των φυσικών μεγεθών με βάση τις μικροσκοπικές αλληλεπιδράσεις. Στην περίπτωση κλειστού συστήματος αναπτύσσεται το Μικροκανονικό Στατιστικό Σύνολο ως εφαρμογή της γενικής μεθόδου σε καταστάσεις δεδομένης ενέργειας, όγκου και αριθμού σωματιδίων.