Ο n-διάστατος Ευκλείδειος χώρος

Abstract

Στο κεφάλαιο αυτό εισάγεται η έννοια του Ευκλείδειου n-διάστατου χώρου, με τις αλγεβρικές, γεωμετρικές και τοπολογικές ιδιότητες που τον χαρακτηρίζουν. Πιο συγκεκριμένα εισάγονται<br/><br/>1. η αλγεβρική δομή του χώρου ως διανυσματικού χώρου πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς,<br/>2. το εσωτερικό γινόμενο στον χώρο αυτό,<br/>3. η Ευκλείδεια νόρμα που επάγει το εσωτερικό γινόμενο,<br/>4. η μετρική που επάγει η Ευκλείδεια νόρμα,<br/>5. οι τοπολογικές ιδιότητες του μετρικού χώρου (ανοικτά, κλειστά, φραγμένα και συμπαγή υποσύνολά του),<br/>6. η έννοια μιας ακολουθίας διανυσμάτων,<br/>7. η έννοια της σύγκλισης ακολουθιών διανυσμάτων και όλα τα σχετικά συμπεράσματα. <br/><br/>Κατά την εισαγωγή των εννοιών αφενός τονίζεται η αναλογία τους με τις ειδικότερες αντίστοιχές τους στην πραγματική ευθεία, οι οποίες είναι γνωστές στους φοιτητές, και επισημαίνεται αφετέρου το ότι είναι ένα παράδειγμα γενικότερων εννοιών π.χ. της Γραμμικής Άλγεβρας, της Τοπολογίας Μετρικών Χώρων, και της Συναρτησιακής Ανάλυσης.