Σειρές Fourier

Abstract

Οι σειρές Fourier είναι ένα από τα πιο χρηστικά εργαλεία της Μαθηματικής Ανάλυσης τα οποία παίζουν σημαντικό ρόλο σε όλα σχεδόν τα πεδία των φυσικών και τεχνολογικών επιστημών. Οι σειρές Fourier χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση περιοδικών συναρτήσεων ή περιοδικών σημάτων με τη βοήθεια απείρων αθροισμάτων (σειρών) των συναρτήσεων ημιτόνων και συνημιτόνων ή των μιγαδικών εκθετικών. Οι σειρές Fourier αρχικά διατυπώθηκαν για τη λύση προβλημάτων συνοριακών τιμών μερικών διαφορικών εξισώσεων αλλά η χρησιμότητά του επεκτάθηκε στην ανάλυση όλων των κυματομορφών που εμφανίζονται από τη θεωρία σημάτων μέχρι την κβαντική φυσική. Αρχικά, δίνονται ο ορισμός και οι βασικές έννοιες των πραγματικών και μιγαδικών σειρών Fourier. Εξετάζεται η κατηγορία των συναρτήσεων οι οποίες αναπτύσσονται σε σειρά Fourier. Τέλος, παρουσιάζονται οι τύποι παραγώγισης και ολοκλήρωσης σειρών Fourier. Το κεφάλαιο κλείνει με αντιπροσωπευτικές εφαρμογές των σειρών Fourier στις εφαρμοσμένες επιστήμες.